Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1-2n+5（n∈N⁺且n≥2），a₁=1．
（1）若b_n=a_n-2n+1，求證：數(shù)列{b_n}（n∈N⁺）是常數(shù)列，并求{a_n}的通項；
（2）若S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，又c_n=（-1）ⁿS_n，且{c_n}的前n項和T_n＞tn²在n∈N⁺時恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1-2n+5（n∈N⁺且n≥2），a₁=1．我們易得到a_n-2n+1=2[a_n-1-2（n-1）+1]，又由b_n=a_n-2n+1，可得b_n=2b_n-1，且b₁=0，進(jìn)而易判斷出數(shù)列{b_n}（n∈N⁺）是常數(shù)列，即b_n=0，再由b_n=a_n-2n+1，即可給出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）中結(jié)論，我們易得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，進(jìn)而易得到S_n的表達(dá)式，根據(jù)c_n=（-1）ⁿS_n，求出對應(yīng)的{c_n}后，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別求出T_n解對應(yīng)的不等式式，即可求出實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）由a_n=2a_n-1-2n+5知：a_n-2n+1=2[a_n-1-2（n-1）+1]，而a₁=1
于是由b_n=a_n-2n+1，可知：b_n=2b_n-1，且b₁=0
從而b_n=0，故數(shù)列{b_n}是常數(shù)列．
于是a_n=2n-1．（5分）
（2）S_n是{a_n}前n項和，則S_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²，c_n=（-1）ⁿn²
當(dāng)n為奇數(shù)時，即n=2k-1，T_n=T_2k-1=-1²+2²-3²+4²+…+（2k-2）²-（2k-1）²
=-k（2k-1）=-

n(n+1)

2

當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=T_2k=T_2k-1+（2k）²=

n(n+1)

2

．
∴T_n=

1

2

n(n+1)(-1)n．
由T_n＞tn²恒成立，則需

1

2

n(n+1)(-1)n＞tn²恒成立．只需n為奇數(shù)時恒成立．
∴-

1

2

n(n+1)＞tn2（n=1，3，5，7，），
∴t＜-

1

2

•

n+1

n

（n=1，3，5，7，）恒成立．
而-

1

2

(1+

1

n

)≥-1，
∴t＜-1，故所需t的范圍為（-∞，-1）．（13分）

點評：本題考查的知識點是數(shù)列遞推公式及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)已知中數(shù)列的遞推公式a_n=2a_n-1-2n+5求出數(shù)列{a_n}的通項公式是解答本題的關(guān)鍵．