【題目】如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分別為AC、DC的中點(diǎn).

(1)求證:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.

【答案】
(1)證明:由題意,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

易得B(0,0,0),A(0,﹣1, ),D( ,﹣1,0),C(0,2,0),因而E(0, , ),F(xiàn)( , ,0),所以 =( ,0,﹣ ), =(0,2,0),因此 =0,所以EF⊥BC.


(2)解:在圖中,設(shè)平面BFC的一個(gè)法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),又 =( , ,0), =(0, , ),

得其中一個(gè) =(1,﹣ ,1),

設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ,由題意知θ為銳角,則

cosθ=|cos< , >|=| |= ,

因此sinθ= = ,即所求二面角正弦值為


【解析】(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,得到E、F、B、C點(diǎn)的坐標(biāo),易求得此 =0,所以EF⊥BC;(2)設(shè)平面BFC的一個(gè)法向量 =(0,0,1),平面BEF的法向量 =(x,y,z),依題意,可求得一個(gè) =(1,﹣ ,1),設(shè)二面角E﹣BF﹣C的大小為θ,可求得sinθ的值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知圓關(guān)于直線對稱的圓為.

(1)求圓的方程;

(2)過點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn), 是坐標(biāo)原點(diǎn),是否存在這樣的直線,使得在平行四邊形?若存在,求出所有滿足條件的直線的方程;若不存在,請說明理由.

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【題目】已知函數(shù)f(x)= sin(2x+ ),給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)f(x)在區(qū)間[ , ]上是減函數(shù);
②直線x= 是f(x)的圖象的一條對稱軸;
③函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y= sin2x的圖象向左平移 而得到;
④函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對稱中心是( ,0).
其中正確的個(gè)數(shù)是(
A.1
B.2
C.3
D.4

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【題目】已知α,β∈( ,π),sin(α+β)=﹣ ,sin(β﹣ )= ,則cos(α+ )=(
A.
B.
C.﹣
D.﹣

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【題目】已知函數(shù)f(x)= sin2x﹣ cos2x
(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)若將f(x)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖象,當(dāng)x∈[ ]時(shí),求函數(shù)g(x)的值域.

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【題目】如圖,在直三棱柱中, 是等腰直角三角形, ,側(cè)棱, 分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在平面上的射影是的重心.

(1)求證: 平面;

2)求與平面所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d>0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S2·S3=36.

(1)求dSn

(2)求m,k(mk∈N*)的值,使得amam+1am+2+…+amk=65.

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,曲線 為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為

(Ⅰ)分別求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)設(shè)直線交曲線, 兩點(diǎn),交曲線 兩點(diǎn),求的長.

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【題目】已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率等于 .現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,34表示命中,5,67,8,9,0,表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________

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