Question

已知兩個定點A₁（-2，0），A₂（2，0），動點M滿足直線MA₁與MA₂的斜率之積是定值

m

4

（m∈R，m≠0）．
（1）求動點M的軌跡方程，并指出隨m變化時方程所表示的曲線的形狀；
（2）若m=-3，已知點A（1，t）（t＞0）是軌跡M上的定點，E，F(xiàn)是動點M的軌跡上的兩個動點且E，F(xiàn)，A不共線，如果直線AE的斜率k_AE與直線AF的斜率k_AF滿足k_AE+k_AF=0，試探究直線EF的斜率是否是定值？若是定值，求出這個定值，若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設動點M（x，y），依題意有

y

x-2

•

y

x+2

=

m

4

，（m≠0），由此能求出動點M的軌跡方程，并能指出隨m變化時方程所表示的曲線的形狀．
（2）m=-3時，動點M的軌跡 方程為

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2），設直線AE方程為：y=k（x-1）+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）²-12=0，由此能求出直線EF的斜率為定值

1

2

．

解答： 解：（1）設動點M（x，y），依題意有

y

x-2

•

y

x+2

=

m

4

，（m≠0），
整理，得

x2

4

-

y2

m

=1，m≠2．
∴動點M的軌跡方程為

x2

4

-

y2

m

=1，x≠±2．
m＞0時，軌跡是焦點在x軸上的雙曲線，
m∈（-4，0）時，軌跡是焦點在x軸上的橢圓，
m=-4時，軌跡是橢圓，
m∈（-∞，-4）時，軌跡是焦點在y軸上的橢圓，且點A₁（-2，0），A₂（2，0）不在曲線上．
（2）m=-3時，動點M的軌跡 方程為

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）
∵點A（1，t）（t＞0）在軌跡M上，∴

1

4

+

t2

3

=1，
解得t=

3

2

，即點A的坐標為（1，

3

2

）7分
設k_AE=k（k≠0），則直線AE方程為：y=k（x-1）+

3

2

，
代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）²-12=0
設E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），∵點A（1，

3

2

）在動點M的軌跡上，
∴x_E=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

③，
y_E=kx_E+

3

2

-k，④9分
又k_AE+k_AF=0得k_AF=-k，將③、④式中的k代換成-k，可得
x_F=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y_F=-kx_F+

3

2

+k10分
∴直線EF的斜率k_EF═

yF-yE

xF-xE

=

-k(xF+xE)+2k

xF-xE

∵x_E+x_F=

8k2-6

4k2+3

，x_F-x_E=

24k

4k2+3

∴k_EF═

-k 8k2-6 4k2+3 +2k

24k 4k2+3

=

-k(8k2-6)

24k

=

1

2

即直線EF的斜率為定值，其值為

1

2

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線的斜率是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．