Question

（14分）如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，PA＝AD＝a．

（1）求證：MN∥平面PAD；

（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】

試題分析：如答圖所示

⑴設PD的中點為E，連結AE、NE，

由N為PD的中點知ENDC，

又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB

又M是AB的中點，∴ENAN，

∴AMNE是平行四邊形

∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD

∴MN∥平面PAD

證明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，

∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，

又MN平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PCD.

考點：本題主要考查平行關系及垂直關系。

點評：立體幾何問題，常常要轉化成平面幾何問題。要牢固樹立這種轉化意識，從而運用平面幾何知識解答問題。這里較多地運用了三角形中的線線平行關系。