Question

拋物線x²=-8y的準線與y軸交于點A．過點A作直線交拋物線于M，N兩點，．點B在拋物線對稱軸上，且．則的取值范圍是（ ）
A．（3，+∞）
B．（4，+∞）
C．（5，+∞）
D．（6，+∞）

Answer 1

【答案】分析：由題意可設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點E（x，y），，聯(lián)立方程可得x²+8kx+16=0，由△＞0可求k的范圍，由方程的根與系數(shù)關(guān)系及中點坐標(biāo)公式可求MN的中點E，由即BE⊥MN即M在MN的垂直平分線，則MN的垂直平分線與y軸的交點即是B，，令x=0可求B的縱坐標(biāo)，結(jié)合K的范圍可求||的范圍
解答：解：由題意可得A（0，2），直線MN的斜率k存在且k≠0
設(shè)直線MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點E（x，y），
聯(lián)立方程可得x²+8kx+16=0
則可得，△=64k²-64＞0，即k²＞1，x₁+x₂=-8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=4-8k²
∴=-4k，=2-4k²即E（-4k，2-4k²）
∵==
又∵即BE⊥MN即M在MN的垂直平分線
則MN的垂直平分線y+4k²-2=-與y軸的交點即是B，
令x=0可得，y=-2-4k²
則=2+4k²＞6
故選D
點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于向量知識的綜合應(yīng)用．