Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ，數(shù)列{b_n}滿足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；
（3）若，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）∵S_n=2ⁿ，∴S_n-1=2^n-1，（n≥2）．
∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，2^1-1=1≠S₁=a₁=2，
∴（4分）

（2）∵b_n+1=b_n+（2n-1），
∴b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，…，b_n-b_n-1=2n-3，
以上各式相加得．
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n．（8分）

（3）由題意得
∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1，
∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-2）×2ⁿ=
=2ⁿ-2-（n-2）×2ⁿ=-2-（n-3）×2ⁿ，
∴T_n=2+（n-3）×2ⁿ．（12分）．
分析：（1）當(dāng)n大于等于2時(shí)，根據(jù)S_n=2ⁿ，得到S_n-1=2^n-1，兩者相減即可得到a_n的通項(xiàng)公式，當(dāng)n=1時(shí)，求出S₁=a₁=2，分兩種情況n=1和n大于等于2寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）分別令n=1，2，3，…，n列舉出數(shù)列的各項(xiàng)，得到b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，…，b_n-b_n-1=2n-3，以上各式相加后，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)后，將b₁=-1代入即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；
（3）分兩種情況n等于1和n大于等于2，把（1）和（2）中分別求出的兩通項(xiàng)公式代入，得到數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，列舉出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，兩邊同乘以2后，兩等式相減后，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)后，即可得到數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)列的遞推式確定數(shù)列為等比數(shù)列，在求通項(xiàng)公式時(shí)應(yīng)注意經(jīng)驗(yàn)首項(xiàng)是否滿足通項(xiàng)，會(huì)利用錯(cuò)位相減的方法求數(shù)列的和，靈活運(yùn)用等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．