Question

下列說法正確的是

 

．
①y=sinx+

4

sinx

（0＜x≤

π

2

）的最小值為4
②y=

x2+5

x2+4

的最小值為2
③y=e^x+e^-x的最小值為2
④x＞0，y＞0，且x+y=20，則m=lgx+lgy的最大值為2．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：①令sinx=t（0＜t≤1），則y=t+

4

t

，求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，再求最值，注意運(yùn)用基本不等式，等號(hào)不成立；
②令

x2+4

=t（t≥2），則y=t+

1

t

，若運(yùn)用基本不等式求最值，等號(hào)不成立，可用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而求出最值；
③運(yùn)用基本不等式求出最值，注意等號(hào)成立的條件；
④運(yùn)用基本不等式求最值，注意運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和變形：xy≤（

x+y

2

）²即可．

解答： 解：①y=sinx+

4

sinx

（0＜x≤

π

2

），令sinx=t（0＜t≤1），則y=t+

4

t

，由于y′=1-

4

t2

＜0，故（0，1]為減區(qū)間，故最小值為5，故①錯(cuò)；
②y=

x2+5

x2+4

，令

x2+4

=t（t≥2），則y=t+

1

t

≥2，t=1時(shí)取最小值，但t≥2，故最小值不為2，由于y′=1-

1

t2

＞0，故[2，+∞）為增區(qū)間，故最小值為

5

2

，即②錯(cuò)；
③由于e^x＞0，e^-x＞0，則y=e^x+e^-x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0，y取最小值2，故③正確；
④x＞0，y＞0，且x+y=20，則m=lgx+lgy=lg（xy）≤lg（

x+y

2

）²=lg100=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10，m取最大值2，故④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假為載體，考查基本不等式的運(yùn)用，主要是求最值，應(yīng)注意等號(hào)成立的條件，同時(shí)考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求最值．