Question

 海島O上有一座海拔1000m的山，山頂上設(shè)有一個(gè)觀察站A，上午11時(shí)測(cè)得一輪船在島北偏東60^o的C處，俯角為30^o，11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北偏西60^o的B處，俯角為60^o，如圖所示，求：

（1）該船的速度為每小時(shí)多少千米？

（2）若此船以勻速度繼續(xù)航行，則它何時(shí)到達(dá)島的正西方向？此時(shí)，船所在點(diǎn)E離開(kāi)海島多少千米？

 

Answer 1

【答案】

（1）船速v＝＝2（km/h）.

 (2)再經(jīng)過(guò)h，即5min輪船到達(dá)島的正西方向，此時(shí)E點(diǎn)離海島1.5km.

【解析】

試題分析：（1）由AO⊥平面BOC，在Rt△AOB中，

求得 OB＝OAtan30^o=(km).

在Rt△AOC中，將OC=Oatan60^o=(km).

在△BOC中，由余弦定理得，

|BC|=

   =   =(km).

∴船速v＝＝2（km/h）.

 (2)在△OBC中，由余弦定理得，

cos∠OBC==.

從而sin∠EBO=sin（180^o－∠OBC）＝sin∠OBC

            ==

sin∠BEO=sin[180^o－(∠BEO+30^o)]

= sin(∠BEO+30^o)=.

由正弦定理在△BEO中，OE==(km)

BE==(km)

因此，從B到E所需時(shí)間t＝＝＝（h）

所以再經(jīng)過(guò)h，即5min輪船到達(dá)島的正西方向，此時(shí)E點(diǎn)離海島1.5km.

考點(diǎn)：本題主要考查正弦定理、余弦定理、兩角和與差的三角函數(shù)公式及立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)。

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用余弦定理、正弦定理解答，對(duì)考生式子變形的能力要求較高。