Question

1．如圖：一個(gè)圓錐的底面半徑為1，高為3，在其中有一個(gè)半徑為x的內(nèi)接圓柱．
（1）試用x表示圓柱的高；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大側(cè)面積是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意作出幾何體的軸截面，根據(jù)軸截面和比例關(guān)系列出方程，求出圓柱的高的表達(dá)式．
（2）由（1）求出的側(cè)面面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出側(cè)面面積的最大值．

解答 解：（1）設(shè)所求的圓柱的底面半徑為x，它的軸截面如圖：BO=1，PO=3，圓柱的高為：h
由圖得，$\frac{x}{1}=\frac{3-h}{3}$，即h=3-3x．
（2）S_{圓柱側(cè)}=2πhx=2π（3-3x）x（5分）
=6π（x-x²），當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值為：$\frac{3}{2}π$．
∴當(dāng)圓柱的底面半徑為$\frac{1}{2}$時(shí)，它的側(cè)面積最大為$\frac{3}{2}π$（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是簡(jiǎn)單組合體的面積問(wèn)題，關(guān)鍵是作出軸截面，求出長(zhǎng)度之間的關(guān)系式，表示出面積后利用函數(shù)的思想求出最值，考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想．