Question

如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD與BC相交于點E，AE=

1

2

ED，延長DB到點F，使FB=

1

2

BD，連結AF．求證：
（Ⅰ）△BDE∽△FDA；
（Ⅱ）FA²=FB•FD．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,相似三角形的判定

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）利用AE=

1

2

ED，F(xiàn)B=

1

2

BD，可得

DE

DA

=

DB

DF

=

2

3

，利用∠EDB=∠ADF，可得△BDE∽△FDA；
（Ⅱ）證明OA⊥FA，可得直線AF與⊙O相切，即可證明FA²=FB•FD．

解答： 證明：（Ⅰ）在△BDE和△FDA中，
∵AE=

1

2

ED，F(xiàn)B=

1

2

BD，
∴

DE

DA

=

DB

DF

=

2

3

，
∵∠EDB=∠ADF，
∴△BDE∽△FDA；
（Ⅱ）連OA，OB，OC，則
∵AB=AC，
∴∠BOA=∠COA，
∵OB=OC，
∴OA⊥BC，
∵△BDE∽△FDA，
∴∠EBD=∠AFD，
∴BC∥FA，
∵OA⊥BC，
∴OA⊥FA，
∴直線AF與⊙O相切，
∴FA²=FB•FD．

點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理的推論以及平行線分線段成比例定理．