Question

已知函數(shù)f（x）=[ax²+（a-1）²x-a²+3a-1]e^x（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（2，3）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=0，設(shè)g（x）=

f(x)

ex

+lnx-x，斜率為k的直線與曲線y=g（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）兩點(diǎn)，證明：（x₁+x₂）k＞2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 首先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x），對(duì)a討論，分a≥0，a＜0①-1＜a＜0，②a=-1，③a＜-1，分別求出單調(diào)區(qū)間，再求并集；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)a=0時(shí)的g（x），由兩點(diǎn)的斜率公式寫出k，運(yùn)用分析法證（x₁+x₂）k＞2，注意運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和同時(shí)除以x₁的變形，再令

x2

x1

=x，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用單調(diào)性說(shuō)明h（x）＞0成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=[2ax+（a-1）²]•e^x+[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]•e^x
=[ax²+（a²+1）x+a]•e^x，
當(dāng)a≥0時(shí)，∵x∈（2，3），∴f'（x）＞0，∴f（x）在（2，3）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，∵f（x）在（2，3）上單調(diào)遞增，∴f'（x）=a（x+a）（x+

1

a

）•e^x≥0，
①當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，解得-a≤x≤-

1

a

，由題意知（2，3）⊆[-a，-

1

a

]，得-

1

3

≤a＜0，
②當(dāng)a=-1時(shí)，f'（x）=-（x-1）²•e^x≤0，不合題意，舍去，
③當(dāng)a＜-1時(shí)，解得-

1

a

≤x≤-a，則由題意知（2，3）⊆[--

1

a

，-a]，得a≤-3，
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]∪[-

1

3

，+∞）；
（Ⅱ）a=0時(shí)，g（x）=

f(x)

ex

+lnx-x=lnx-1，k=

lnx2-lnx1

x2-x1

，
∵x₂-x₁＞0，要證（x₂+x₁）k＞2，即證（x₁+x₂）

lnx2-lnx1

x2-x1

＞2，
即證ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

＞0（

x2

x1

＞1），
設(shè)h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

（x＞1），h'（x）=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）＞h（1）=0，
∴l(xiāng)n

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

＞0（

x2

x1

＞1）成立，
即（x₁+x₂）k＞2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合運(yùn)用，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用單調(diào)性解決不等式問(wèn)題，同時(shí)考查分類討論的思想方法以及構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用單調(diào)性靈活解決問(wèn)題的能力．