Question

已知函數(shù)f(x)=

3x-2

，無窮數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求a₁的值使得{a_n}為常數(shù)列；
（2）若a₁＞2，證明：a_n＞a_n+1；
（3）若a₁=3，求證：

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

≥

4n

3n-1

-3．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出常數(shù)列，通過函數(shù)關(guān)系求出求a₁的值，即可使得{a_n}為常數(shù)列；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，通過a₁＞2，說明a_n＞2，通過a_n+1=f（a_n）分解因式，即可證明：a_n＞a_n+1；
（3）若a₁=3，通過放縮法，結(jié)合（2）推出a_n＞

4

3

•

1

an-2

；

1

an-2

＞(

4

3

)n-1，通過等比數(shù)列求和即可證明

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

≥

4n

3n-1

-3．

解答：解：（1）設(shè)a_n=m，則m=

3m-2

，
∴m=1或m=2，
經(jīng)驗證，當a₁=1或2時{a_n}為常數(shù)列；…（3分）
（2）因為函數(shù)f(x)=

3x-2

，在x＞2時，函數(shù)是增函數(shù)，
∵a₁＞2，a₂＞a₁＞2，
∴a_n＞2，
∵a_n²-a_n+1²=a_n²-3a_n+2=（a_n-1）（a_n-2）＞0，
則a_n＞a_n+1；
（3）

1

an+1-2

=

1

3an-2 -2

=

3an-2 +2

3an-6

=

1

an-2

3an-2 +2

3

，
由（2）知a_n＞2

1

an-2

＞=

1

3an-2-2

＞

1

an-2

•

3•2-2 +2

3

=

4

3

•

1

an-2

1

an-2

＞(

4

3

)•

1

an-1-2

＞(

4

3

)2•

1

an-2-2

＞…＞(

4

3

)n-1•

1

an-2

=(

4

3

)n-1，

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

≥(

4

3

)0+…+(

4

3

)n-1=

4n

3n-1

-3．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合問題，考查放縮法的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，計算能力．