Question

設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）斜率為的直線與交于,兩點(diǎn)，求證：.

Answer 1

（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．

∵當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)時(shí)，

f'（x）＞0，

∴當(dāng)時(shí)，．----------------- 4分

（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．

①當(dāng)a≥0時(shí)，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

②當(dāng)a＜0時(shí)，

令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；

令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．

綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．------------------------------------8分

（3）證：．

要證，即證，等價(jià)于證，令，

則只要證，由t＞1知lnt＞0，

故等價(jià)于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．

①設(shè)g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），則，

故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，

∴當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．

②設(shè)h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），則h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，

∴當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．

由①②知（*）成立，得證．