Question

在東西方向直線延伸的湖岸上有一港口O，一艘機(jī)艇以40km/h的速度從O港出發(fā)，先沿東偏北的某個(gè)方向直線前進(jìn)到達(dá)A處，然后改向正北方向航行，總共航行30分鐘因機(jī)器出現(xiàn)故障而停在湖里的P處，由于營(yíng)救人員不知該機(jī)艇的最初航向及何時(shí)改變的航向，故無(wú)法確定機(jī)艇停泊的準(zhǔn)確位置，試劃定一個(gè)最佳的弓形營(yíng)救區(qū)域（用圖形表示），并說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：以O(shè)為原點(diǎn)，湖岸線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)OA的傾斜角為θ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），|OA|=m，|AP|=n，則有

x=mcosθ y=n+msinθ m+n=20

(0＜θ＜

π

2

)，由此能夠?qū)С鰻I(yíng)救區(qū)域?yàn)橹本�x+y=20與圓x²+y²=400圍城的弓形區(qū)域．

解答：解：以O(shè)為原點(diǎn)，湖岸線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)OA的傾斜角為θ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
|OA|=m，|AP|=n，則有　（3分）

x=mcosθ y=n+msinθ m+n=20

(0＜θ＜

π

2

)（7分）
由此得

x2+y2=m2+n2+2mnsinθ x+y=m(sinθ+cosθ)+n

（9分）
即

x2+y2＜m2+n2+2mn=(m+n)2=400 x+y= 2 msin(θ+ π 4 )+n＞ 2 m• 2 2 +n=20

（12分）
故營(yíng)救區(qū)域?yàn)橹本�x+y=20與圓x²+y²=400圍城的弓形區(qū)域．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地選用公式．