Question

如圖，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=

1

2

AE=2，O、M分別為CE、AB的中點，求直線CD和平面ODM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：以C為原點，分別以CA，CB為x，y軸，以過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出

OD

與

MD

的坐標(biāo)，設(shè)平面ODM的法向量n=（x，y，z），則由n⊥

OD

，且n⊥

MD

建立兩等式關(guān)系，求出x、y、z，設(shè)直線CD和平面ODM所成角為θ，利用sinθ=|cos＜

n

，

CD

＞|進行求解．

解答：解：∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB?面ABDE，
∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，
如圖所示，以C為原點，分別以CA，CB為x，y軸，
以過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AC=BC=4，
∴設(shè)各點坐標(biāo)為C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4），
則O（2，0，2），M（2，2，0），

CD

=(0，4，2)，

OD

=(-2，4，0)，

MD

=(-2，2，2)，
設(shè)平面ODM的法向量n=（x，y，z），則由n⊥

OD

且n⊥

MD

可得

-2x+4y=0 -2x+2y+2z=0

令x=2，則y=1，z=1，∴n=（2，1，1），
設(shè)直線CD和平面ODM所成角為θ，則sinθ=|cos＜n，

CD

＞|=|

n• CD

|n|| CD |

|=|

(2，1，1)•(0，4，2)

|(2，1，1)||(0，4，2)|

|=

6

6 •2 5

=

30

10

，
∴直線CD和平面ODM所成角的正弦值為

30

10

．

點評：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及空間向量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中等題．