Question

如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的正三角形，D，E分別為PB，PC中點．
（1）若PA=2，求直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）若PA=

3

，求證：平面ADE⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標原點，過A且與FB平行的直線為x軸，AC為y軸，AP為z軸建立如圖所示直角坐標系．取AC的中點F，連接BF則BF⊥AC．根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得A、B、C、P、E各點的坐標，從而得到向量

PB

、

AE

的坐標，再用空間向量的夾角公式加以計算，結(jié)合異面直線所成的角的定義即可得到直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）設(shè)PA=

3

，可得向量

PB

、

PC

的坐標形式，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，解出平面PBC的一個法向量為

n1

，同理得到平面ADE的一個法向量

n2

，由

n1

•

n2

=0，可得平面ADE⊥平面PBC．

解答：解（1）如圖，取AC的中點F，連接BF，則BF⊥AC．以A為坐標原點，過A且與FB平行的直線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系．
則A（0，0，0），B（

3

，1，0），
C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
∴

PB

=（

3

，1，-2），

AE

=（0，1，1）
設(shè)直線AE、PB所成的角為θ，則cosθ=|

PB • AE

| PB |•| AE |

|=

1

4

，
即直線AE與PB所成角的余弦值為

1

4

；
（2）設(shè)PA=

3

，則P（0，0，

3

），可得

PB

=（

3

，1，-

3

），

PC

=（0，2，-

3

）
設(shè)平面PBC的法向量為

n1

=（x，y，z），
則

n1 • PB =0 n1 • PC =0

∴

3 x+y- 3 z=0 2y- 3 z=0

，
令z=2，得y=

3

，x=1．
可得

n1

=（1，

3

，2）是平面PBC的一個法向量，
∵D、E分別為PB、PC中點，
∴D（

3

2

，

1

2

，

3

2

），E（0，1，

3

2

）
因此，

AD

=（

3

2

，

1

2

，

3

2

），

AE

=（0，1，

3

2

），
類似求平面PBC法向量

n1

的方法，可得平面ADE的一個法向量

n2

=（-1，-

3

，2）
∵由

n1

•

n2

=1×(-1)+

3

×(-

3

)+2×2=0，
∴平面ADE⊥平面PBC．

點評：本題給出側(cè)棱PA與底面△ABC垂直的三棱錐，求異面直線所成的角并在面面垂直的情況下求線段PA的長，著重考查了利用空間向量研究線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的求法等知識，屬于中檔題．