Question

如圖，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C、D的點，AE=3，正方形ABCD的邊長為3

5

．
（1）求證：平面ABCD丄平面ADE；
（2）求四面體BADE的體積；
（3）試判斷直線OB是否與平面CDE垂直，并請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AE⊥平面CDE，得AE⊥CD，結合正方形ABCD中AD⊥CD，可得CD⊥平面ADE，再由CD?平面ABCD，得到平面ABCD丄平面ADE；
（2）將四面體BADE看作三棱錐B-ADE，證出AB⊥平面ADE，可得AB是三棱錐B-ADE的高．因此算出Rt△ADE的面積，再結合錐體的體積公式，即可得到四面體BADE的體積；
（3）采用反證法：若OB⊥平面CDE，則可證出平面BCE中，OB是CE的垂直平分線，可得BC=BE，從而得到AB=BE，與Rt△ABE中AB＜BE矛盾，由此可得直線OB與平面CDE不垂直．

解答：解：（1）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD
又∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD
∵AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，∴CD⊥平面ADE
∵CD?平面ABCD，∴平面ABCD丄平面ADE；
（2）∵ABCD為正方形，∴AB∥CD且AB⊥AD
又∵AE⊥CD，∴AB⊥AE
∵AD、AE是平面ADE內的相交直線，
∴AB⊥平面ADE，可得AB是三棱錐B-ADE的高
∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，
∴AE⊥DE，Rt△ADE中，DE=

AD2-AE2

=

(3 5 )2-32

=6
由此可得，四面體BADE的體積即三棱錐B-ADE的體積，得
V_BADE=

1

3

S_△ADE×AB=

1

3

×（

1

2

×3×6）×3

5

=9

5

；
（3）連接CE，由（1）CD⊥平面ADE，結合DE?平面ADE得CD⊥DE，
可得CE是圓O的一條直徑，即O為CE中點
若OB⊥平面CDE，則平面BCE中，OB是CE的垂直平分線，
可得BC=BE，結合AB=BC得AB=BE，
由（2）得AB⊥AE，Rt△ABE中AB＜BE，矛盾．因此直線OB與平面CDE不垂直．

點評：本題給出圓O與四面體ABDE，在已知四邊形ABCD是正方形且AE垂直于圓O所在平面的情況下，證明面面垂直并求四面體BADE的體積，著重考查了空間線面垂直、面面垂直位置關系的判定與證明和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．