Question

14、觀察下列等式：（x²+x+1）⁰=1；（x²+x+1）¹=x²+x+1；（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1；（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1；…；可能以推測，（x²+x+1）⁵展開式中，第五、六、七項(xiàng)的系數(shù)和是

141

．

Answer 1

分析：利用多項(xiàng)式乘法的法則得到各項(xiàng)的構(gòu)成方法求出展開式各項(xiàng)的系數(shù)和．

解答：解：展開式的第五項(xiàng)是含x⁶的項(xiàng)；其構(gòu)成是5個(gè)多項(xiàng)式3個(gè)出x²，其它都出1；5個(gè)多項(xiàng)式2個(gè)出x²，2個(gè)出x，其它出1；
5個(gè)多項(xiàng)式1個(gè)出x²，4個(gè)出x
其系數(shù)為C₅³+C₅²C₃²+C₅¹=45
展開式的第6項(xiàng)同樣的方法其系數(shù)為C₅²C₃¹+C₅¹C₄³+1=51
展開式的第7項(xiàng)同樣的方法其系數(shù)為C₅²+C₅¹C₄²+C₅⁴=45
所以展開式中，第五、六、七項(xiàng)的系數(shù)和是35+51+45=141
故答案為141

點(diǎn)評：本題考查利用分類計(jì)數(shù)原理和分布計(jì)數(shù)原理求出完成事件的方法數(shù)．