Question

已知函數(shù)的自變量的取值區(qū)間為A，若其值域區(qū)間也為A，則稱A為的保值區(qū)間.
（Ⅰ）求函數(shù)形如的保值區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)是否存在形如的保值區(qū)間？若存在，求出實數(shù)的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）或.（Ⅱ）不存在

試題分析：（Ⅰ）因為時值域為。所以要使為保值區(qū)間，則。根據(jù)保值區(qū)間的定義可得，解方程即可得。（Ⅱ）將去絕對值改寫為分段函數(shù)，討論其單調(diào)性。同時討論與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系。根據(jù)保值區(qū)間的定義列方程計算。
試題解析：解（Ⅰ），又在是增函數(shù)，. . .
函數(shù)形如的保值區(qū)間有或.      2分
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)a，b使得函數(shù)，有形如的保值區(qū)間，則.              4分
當(dāng)實數(shù) 時，在上為減函數(shù)，故，
即  =b與＜b矛盾.
故此情況不存在滿足條件的實數(shù)a，b.      5分
（2）當(dāng)實數(shù)時，在為增函數(shù)，故 
即得方程在上有兩個不等的實根，而，
即無實根.
故此情況不存在滿足條件的實數(shù)a，b.      6分
（3）當(dāng)，，，而，.
故此情況不存在滿足條件的實數(shù)a，b.                 7分
綜上所述，不存在實數(shù)使得函數(shù)，有形如的保值區(qū)間.   8分