Question

已知橢圓C：（a＞b＞0），則稱以原點為圓心，r=的圓為橢圓C的“知己圓”．
（Ⅰ）若橢圓過點（0，1），離心率e=；求橢圓C方程及其“知己圓”的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，若過點（0，m）且斜率為1的直線截其“知己圓”的弦長為2，求m的值；
（Ⅲ）討論橢圓C及其“知己圓”的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵橢圓C過點（0，1），∴，可得b=1，
又∵橢圓C的離心率e=，即=，且a²-c²=b²=1 …（2分）
解之得a²=3，c²=2
∴所求橢圓C的方程為： …（4分）
由此可得“知己圓”的半徑r==
∴橢圓C的“知己圓”的方程為：x²+y²=2 …（6分）
（Ⅱ）設(shè)過點（0，m）、且斜率為1的直線方程為y=x+m，即為x-y+m=0
∵直線截其“知己圓”的弦長l=2，
∴圓心到直線的距離為d===1 …（8分）
由點到直線的距離公式，得d==1，解之得m= …（10分）
（Ⅲ）∵橢圓C的“知己圓”是以原點為圓心，r=的圓
∴橢圓C的“知己圓”方程為x²+y²=c²
因此，①當(dāng)c＜b時，即橢圓C的離心率e∈（0，）時，橢圓C的“知己圓”與橢圓C沒有公共點，由此可得“知己圓”在橢圓C內(nèi)；…（12分）
當(dāng)c=b時，即橢圓的離心率e=時，橢圓C的“知己圓”與橢圓C有兩個
公共點，由此可得“知己圓”與橢圓C相切于點（0，1）和（0，-1）；
當(dāng)c＞b時，即橢圓C的離心率e∈（0，）時，橢圓C的“知己圓”與橢圓C有四個公共點，由此可得“知己圓”與橢圓C是相交的位置關(guān)系． …（14分）
分析：（I）根據(jù)橢圓過點（0，1），算出b=1．再由離心率e=結(jié)合a²=b²+c²聯(lián)解得到a²=3，c²=2，即可得到橢圓C的方程，最后根據(jù)橢圓的“知己圓”定義可得橢圓C的“知己圓”的方程．
（II）由橢圓C的“知己圓”的方程，得到其半徑r=，根據(jù)垂徑定理算出弦長為2的弦心距d=1，因此設(shè)出線方程為y=x+m，利用點到直線的距離公式列式得到關(guān)于m的方程，解之即可得到實數(shù)m的值；
（III）根據(jù)橢圓C的“知己圓”定義，可得其方程為x²+y²=c²．由橢圓的形狀，根據(jù)離心率e的范圍加以討論，即可得到橢圓C與它的“知己圓”的位置關(guān)系的三種不同情況，得到本題答案．
點評：本題給出橢圓的“知己圓”，求“知己圓”的方程并討論橢圓與“知己圓”的位置關(guān)系，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓的位置等知識，考查了分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．