橢圓C的中心在原點(diǎn),并以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),以拋物線的準(zhǔn)線到原點(diǎn)的距離為
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+2(k≠0)與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l′:y=mx+1(m≠0)對稱,求k的值.
【答案】分析:(1)確定雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),拋物線的準(zhǔn)線方程,利用條件,求出橢圓的幾何量,即可求橢圓C的方程;
(2)根據(jù)題設(shè),可得,利用,結(jié)合弦AB的中點(diǎn)在直線上,即可求得k的值.
解答:解:(1)在雙曲線中,
∴焦點(diǎn)為
在拋物線中,,∴準(zhǔn)線為
∴在橢圓中,.從而
∴所求橢圓C的方程為
(2)設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P(x,y),則點(diǎn)P是直線l與直線l′的交點(diǎn),且直線l⊥l′,∴
得:,∴ky=-3x.…①
得:ky=-x+k.…②
由①、②得:
又∵y=kx+2,∴,即k2=1,∴k=±1.
在y=kx+2中,當(dāng)x=0時,y=2,即直線l經(jīng)過定點(diǎn)M(0,2).
而定點(diǎn)M(0,2)在橢圓的內(nèi)部,故直線l與橢圓一定相交于兩個不同的交點(diǎn),
∴k的值為±1.
點(diǎn)評:本題考查橢圓的方程,考查雙曲線、拋物線的性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,短軸的一個端點(diǎn)與左右焦點(diǎn)F1、F2組成一個正三角形,焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為
3

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)F2作直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,求直線MF1的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C的中心在原點(diǎn),其一個焦點(diǎn)與拋物線y2=4
6
x
的焦點(diǎn)相同,又橢圓C上有一點(diǎn)M(2,1),直線l平行于OM且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),連MA、MB.
(1)求橢圓C的方程.
(2)當(dāng)MA、MB與x軸所構(gòu)成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時,求直線l在y軸上截距的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,離心率為
2
2
,其一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若斜率為2的直線l過橢圓C在y軸正半軸上的焦點(diǎn),且與該橢圓交于A、B兩點(diǎn),求AB的中點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在原點(diǎn),一個焦點(diǎn)為F1(0,
2
)
,離心率為e=
2
2
,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為1的橢圓C上的點(diǎn),過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA、PB分別交橢圓C于兩點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求△PAB面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•宜賓一模)已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
1
2
,短軸長為4
3

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)P(2,n),Q(2,-n)是橢圓C上兩個定點(diǎn),A、B是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)的動點(diǎn).
①若直線AB的斜率為
1
2
,求四邊形APBQ面積的最大值;
②當(dāng)A、B兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動,且滿足∠APQ=∠BPQ時,直線AB的斜率是否為定值,說明理由.

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