已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式，
（Ⅰ） 證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

（I）證明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2（2分）
（1分）
=（1分）
∵x1＜x2∴x1-x2＜0
∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2-1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)（2分）
（II）解：由（I）知：
f（x）在[1，4]上是增函數(shù)
∴當(dāng)x=1時(shí)，有最小值2；
當(dāng)x=4時(shí)，有最大值（2分）
分析：（I）用單調(diào)性定義證明，先任取兩個(gè)變量且界定大小，再作差變形看符號(hào)．
（II）由（I）知f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，可知在[1，4]也是增函數(shù)，則當(dāng)x=1時(shí)，取得最小值，當(dāng)x=4時(shí)，取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查單調(diào)性證明和應(yīng)用單調(diào)性求函數(shù)最值問題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=tanx 滿足tan（x+
π
4
）=
1+tanx
1-tanx
由該等式也能推證出y=tanx的周期為π，已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x+a）=
1+f(x)
1-f(x)
，x∈R．a(chǎn)為非零的常數(shù)，根據(jù)上述論述我們可以類比出函數(shù)f（x）的周期為
4a
4a
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1、x2總有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的“凹函 數(shù)”．試證當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）為“凹函數(shù)”．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx（a≠0）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2x-2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)Pn（n，Sn）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．若bn=
1
2
（an+3）
（1）當(dāng)n≥2時(shí)，試比較bn+1與2bn的大�。�
（2）記cn=
1
bn
（n∈N*），試證c1+c2+…+c400＜39．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1+ln(x+1)
x
（x＞0），
（1）函數(shù)f（x） 在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞
3
x+1
恒成立；
（3）試證：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e2n-3（n∈N*）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+c（a，b，c∈R，a≠0）的圖象過點(diǎn)P（-1，2）且在P處的切線與直線x-3y=0垂直．
（Ⅰ）若c=0，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0且f（x）在區(qū)間（-∞，m）及（n，+∞）上均為增函數(shù)，試證：n-m＞1．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案