Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為A₁B₁和BB₁的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成的角的余弦值為（    ）

A.            B.            C.            D.

Answer 1

分析：可用基向量或建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法來求解.

解析：方法一:∵,

∴.

而||=，

同理，|.

設(shè)直線AM與CN所成的角為α,則cosα=.

方法二：如圖，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，分別沿DA、DC、DD₁方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(1,0,0),M(1,12,1),C(0,1,0),N(1,1,12).

∴=(1,,1)-(1,0,0)=(0,,1),

=(1,1,)-(0,1,0)=(1,0,).

故·=0×1+×0+1×=.

||=,||=.

設(shè)直線AM與CN所成的角為α，則

cosα=.

答案：D

點(diǎn)撥：空間兩條直線之間的夾角是不超過90°的角，因此，如果按公式計(jì)算分子的數(shù)量積為一個(gè)負(fù)數(shù)，則應(yīng)當(dāng)取其絕對值，使之變?yōu)檎�值，這樣求得的角為銳角，這一說明在以后很多計(jì)算問題中經(jīng)常被用到.