Question

已知曲線C：y=x²與直線l：x-y+2=0交于兩點A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D．設點P（s，t）是L上的任一點，且點P與點A和點B均不重合．
（1）若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程；
（2）若曲線G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0與D有公共點，試求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）欲求線段PQ的中點M的軌跡方程，設線段PQ的中點M坐標為（x，y），即要求x，y間的關系式，先利用x，y列出點P（s，t）的坐標結合點P在曲線C上即得；
（2）處理圓與D有無公共點的問題，須分兩種情形討論：當0≤a≤

2

時和當a＜0時．對于后一種情形，只須只需考慮圓心E到直線l：x-y+2=0的距離即可，從而求得求a的最小值．

解答：解：（1）聯立y=x²與y=x+2得x_A=-1，x_B=2，則AB中點Q(

1

2

，

5

2

)，設線段PQ的中點M坐標為（x，y），則x=

1 2 +s

2

，y=

5 2 +t

2

，即s=2x-

1

2

，t=2y-

5

2

，又點P在曲線C上，
∴2y-

5

2

=(2x-

1

2

)2化簡可得y=2x2-x+

11

8

，
又點P是L上的任一點，且不與點A和點B重合，
則-1＜2x-

1

2

＜2，即-

1

4

＜x＜

5

4

，
∴中點M的軌跡方程為y=2x2-x+

11

8

（-

1

4

＜x＜

5

4

）．
（2）曲線G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0，
即圓E：(x-a)2+(y-2)2=

49

25

，其圓心坐標為E（a，2），半徑r=

7

5

由圖可知，當0≤a≤

2

時，曲線G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0與點D有公共點；
當a＜0時，要使曲線G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0與點D有公共點，
只需圓心E到直線l：x-y+2=0的距離
d=

|a-2+2|

2

=

|a|

2

≤

7

5

，
得-

7 2

5

≤a＜0，則a的最小值為-

7 2

5

．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、軌跡方程、拋物線方程、圓的方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．