Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上點M（x，4）（x＞0）到準(zhǔn)線的距離是5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）執(zhí)行如圖所示程序框圖，若輸入的x的值為M點的橫坐標(biāo)，請根據(jù)輸出的i的值，求圓錐曲線C：

x2

i-3

+

y2

8-i

=1的離心率．

Answer 1

考點：程序框圖,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,算法和程序框圖

分析：（Ⅰ）由題意，故可設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0），拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=-

p

2

，則有

p

2

+4=5，即解得p=2，可求拋物線C的方程．
（Ⅱ）由點M（x，4）（x＞0）在拋物線x²=4y上，解得x=4，輸入x=4，執(zhí)行如圖所示程序框圖可得i=4，可得圓錐曲線C的方程為：x²+

y2

4

=1，故可求e．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線上點M（x，4），
∴拋物線的焦點在y軸的正半軸，故可設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0）…1分
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=-

p

2

…3分
又∵點M（x，4）（x＞0）到準(zhǔn)線的距離是5…5分
∴

p

2

+4=5，即p=2
所以，拋物線C的方程為x²=4y…6分
（Ⅱ）∵點M（x，4）（x＞0）在拋物線x²=4y上
∴x=4
∴輸入x=4，執(zhí)行如圖所示程序框圖可得：i=4…9分
∴可得圓錐曲線C的方程為：x²+

y2

4

=1，是焦點在y軸上的橢圓
∴a=2，b=1
∴c=

a2-b2

=

3

∴e=

c

a

=

3

2

，所以橢圓的離心率為

3

2

…12分

點評：本題主要考查了程序框圖和算法，橢圓的簡單性質(zhì)，綜合性較強，屬于中檔題．