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如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，其左焦點到點P（2，1）的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△ABP的面積取最大時直線l的方程
解：（Ⅰ）由題：； （1）
左焦點（-c，0）到點P（2，1）的距離為：（2）
由（1）（2）可解得：
∴所求橢圓C的方程為：。
（Ⅱ）易得直線OP的方程：y＝x，
設A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）
其中y0＝x0
∵A，B在橢圓上，
∴
設直線AB的方程為l：y＝﹣（m≠0），
代入橢圓：
顯然
∴﹣＜m＜且m≠0
由上又有：＝m，＝
∴|AB|＝||＝＝
∵點P（2，1）到直線l的距離為：
∴S△ABP＝d|AB|＝|m＋2|，
當|m＋2|＝，即m＝-3 or  m＝0（舍去）時，
（S△ABP）max＝
此時直線l的方程y＝-。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓C：數學公式（a＞b＞0）的一個焦點是F（-數學公式，0），離心率e=數學公式，過點A（0，-2）且不與y軸重合的直線l與橢圓C相交于不同的兩點P、Q
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點F到直線l的距離為2，求直線l的方程；
（3）問在y軸上是否存在一個定點B，使得直線PB與橢圓C的另一個交點R是點Q關于y軸的對稱點？若存在，求出定點B的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省珠海一中高二（上）期中數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，橢圓C：，a，b為常數），動圓，b＜t1＜a．點A1，A2分別為C的左，右頂點，C1與C相交于A，B，C，D四點．
（Ⅰ）求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設動圓與C相交A′，B′，C′，D′四點，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省廈門一中高二（上）期中數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），且過點（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．
（�。┣笞C：點M恒在橢圓C上；
（ⅱ）求△AMN面積的最大值．

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科目：高中數學 來源：2008-2009學年北京市昌平區(qū)高二（上）期末數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），且過點（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．
   （�。┣笞C：點M恒在橢圓C上；
   （ⅱ）求△AMN面積的最大值．

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科目：高中數學 來源：2008年福建省高考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），且過點（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．
（�。┣笞C：點M恒在橢圓C上；
（ⅱ）求△AMN面積的最大值．

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