Question

如圖所示，兩定點A（-6，0），B（2，0），O為坐標原點，動點P對線段AO，BO所張的角相等（即∠APO=∠BPO），求動點P的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：設動點P（x，y），由∠APO=∠BPO，根據角平分線定理得

|PA|

|PB|

=3列出等式，化簡整理即得．但應注意曲線上的點與方程的解對應的點是否一一對應．

解答： 解：如圖，
設動點P（x，y），由動點P對線段AO、OB所張角相等，得∠APO=∠BPO，
由角平分線定理，得

|PA|

|PB|

=

|AO|

|BO|

．
∴

(x+6)2+y2

(x-2)2+y2

=3．整理得x²+y²-6x=0．
由方程可知圓過原點，但當P和原點重合時無意義，∴x≠0．
∴所求方程為x²+y²-6x=0（x≠0）．
又由題意可知P點落在x軸上除線段AB以外的任何點處均有∠APO=∠BPO=0°，
∴又有方程y=0（x＜-6或x＞2）．
故動點P的軌跡方程為x²+y²-6x=0（x≠0）或y=0（x＜-6或x＞2）．

點評：求軌跡方程時經常遇到“去”和“補”的問題，當所求的方程包括不合題意的點時，必須去掉，當所求的方程不含其他合乎條件的點時，必須補出來，此題是中檔題．