如圖(1),C是直徑AB=2的⊙O上一點,AD為⊙O的切線,A為切點,△ACD為等邊三角形,連接DO交AC于E,以AC為折痕將△ACD翻折到圖(2)的△ACP位置,點P為平面ABC外的點.
(1)求證異面直線AC和PO互相垂直;
(2)若F為PC上一點,且PF=2FC,PO=,求三棱錐P-AOF的體積.

【答案】分析:(1)由已知中,△ACD為等邊三角形,AD為⊙O的切線,A為切點,我們易結(jié)合線面垂直的判定定理,得到翻折后AC⊥平面PEO,進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到異面直線AC和PO互相垂直;
(2)由已知中,△ACD為等邊三角形,C是直徑AB=2的⊙O上一點,F(xiàn)為PC上一點,且PF=2FC,PO=,根據(jù)勾股定理,我們可得OP⊥OA,OP⊥OC,進而根據(jù)線面垂直的判定定理得到:OP⊥平面⊙O,求出三棱錐P-ABC的體積后,進一步得到三棱錐P-AOF的體積.
解答:證明:(1)等邊三角形△ACD中AD=DC,AD為⊙O的切線,A為切點,
∴DO⊥AC且E為AC中點    (2分)
以AC為折痕將△ACD翻折到圖(2)的△ACP位置時,
仍有PE⊥AC,OE⊥AC
∴AC⊥平面PEO  (4分)
∴AC⊥PO        (5分)
解:(2)∵PO=,圖(1)中∠DAC=60°,AB=2為⊙O的直徑,AD為⊙O的切線,A為切點,
∴Rt△ACB中,AC=AD=DC=AP=PC=,BC=1
∵OA=OB=OC=BC=1    
∴OA2+OP2=AP2,OC2+OP2=PC2    (8分)
∴OP⊥OA,OP⊥OC
∴OP⊥平面⊙O    (10分)
∴三棱錐P-ABC的體積
VP-ABC=•AB•BC•OP=   (12分)
∵F為PC上一點,且PF=2FC,
∴三棱錐P-AOF的體積
VP-AOF=VP-ABC= (14分)
點評:本題考查的知識點是棱錐的體積及空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,熟練掌握空間直線、平面之間平行及垂直的判定、性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖(1),C是直徑AB=2的⊙O上一點,AD為⊙O的切線,A為切點,△ACD為等邊三角形,連接DO交AC于E,以AC為折痕將△ACD翻折到圖(2)的△ACP位置,點P為平面ABC外的點.
(1)求證異面直線AC和PO互相垂直;
(2)若F為PC上一點,且PF=2FC,PO=
2
,求三棱錐P-AOF的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖(1),C是直徑AB=2的⊙O上一點,AD為⊙O的切線,A為切點,△ACD為等邊三角形,連接DO交AC于E,以AC為折痕將△ACD翻折到圖(2)的△ACP位置.
(1)求證異面直線AC和PO互相垂直;
(2)若三棱錐P-ABC的體積為
6
6
,求二面角A-PC-B的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖(1),C是直徑AB=2的⊙O上一點,AD為⊙O的切線,A為切點,△ACD為等邊三角形,連接DO交AC于E,以AC為折痕將△ACD翻折到圖(2)的△ACP位置.
(1)求證異面直線AC和PO互相垂直;
(2)若三棱錐P-ABC的體積為數(shù)學(xué)公式,求二面角A-PC-B的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省湛江市雷州一中高三(上)摸底數(shù)學(xué)試卷(文科)(實驗班)(解析版) 題型:解答題

如圖(1),C是直徑AB=2的⊙O上一點,AD為⊙O的切線,A為切點,△ACD為等邊三角形,連接DO交AC于E,以AC為折痕將△ACD翻折到圖(2)的△ACP位置,點P為平面ABC外的點.
(1)求證異面直線AC和PO互相垂直;
(2)若F為PC上一點,且PF=2FC,PO=,求三棱錐P-AOF的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年廣東省珠海市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖(1),C是直徑AB=2的⊙O上一點,AD為⊙O的切線,A為切點,△ACD為等邊三角形,連接DO交AC于E,以AC為折痕將△ACD翻折到圖(2)的△ACP位置.
(1)求證異面直線AC和PO互相垂直;
(2)若三棱錐P-ABC的體積為,求二面角A-PC-B的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案