Question

某建筑公司用8000萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少12層、每層4000平方米的樓房．經(jīng)初步估計(jì)得知，如果將樓房建為x（x≥12）層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為Q（x）=3000+50x（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？每平方米的平均綜合費(fèi)最小值是多少？
（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用=

購地總費(fèi)用

建筑總面積

）

Answer 1

分析：【方法一】：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，則平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，由平均建筑費(fèi)用Q（x）=3000+50x，平均購地費(fèi)用=

購地總費(fèi)用

建筑總面積

=

8000×104

4000x

；代入即得f（x），（其中x≥12，x∈N）； 因?yàn)閒（x）=50x+

20000

x

+3000，可以應(yīng)用基本不等式法，即a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）求得f（x）的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值；
【方法二】：同方法一可得因?yàn)閒（x）=50x+

20000

x

+3000，用求導(dǎo)法，對(duì)f（x）求導(dǎo)，令f^′（x）=0，從而得x及f（x）的最小值．

解答：解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，依題意得f(x)=Q(x)+

8000×10000

4000x

=50x+

20000

x

+3000（x≥12，x∈N）
【方法一】因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=50x+

20000

x

+3000≥2

50x• 20000 x

+3000=5000；
當(dāng)且僅當(dāng)50x=

20000

x

即x=20上式取”=”；
因此，當(dāng)x=20時(shí)，f（x）取得最小值5000（元）．
所以，為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為20層，每平方米的平均綜合費(fèi)最小值為5000元
【方法二】因?yàn)?span id="4kkzrc4" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=50x+

20000

x

+3000，f′(x)=50-

20000

x2

；
令f^′（x）=0（其中x＞0），得x=20；當(dāng)0＜x＜20時(shí)，f^′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)x＞20時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=20時(shí)，f（x）有最小值，為f（20）=5000；即為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為20層，每平方米的平均綜合費(fèi)最小值為5000元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)最值模型的應(yīng)用，求函數(shù)最值時(shí)，有兩種基本方法：（1）基本不等式法，（2）求導(dǎo)法．