Question

已知點P（a1，b1），P2（a2，b2），...，Pn（an，bn）（n為整數）都在函數y=的圖像上，且數列{a_n}是a₁=1，公差為d的等差數列。
（1）證明：數列{b_n}是公比為的等比數列；
（2）若公差d=1，以點P_n的橫、縱坐標為邊長的矩形面積為C_n，求最小的實數t，若使C_n<t（t∈R，t≠0）對一切正整數k恒成立；
（3）對（2）中的數列{a_n}，對每個正整數k，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個3（如在a₁與a₂之間插入2⁰個3，
a₂與a₃之間插入2₁個3，a₃與a₄之間插入2²個3，依此類推），得到一個新的數列{d_n}，設S_n是數列
{d_n}的前n項和，試求S₁₀₀₀。

Answer 1

解：（1）由已知
所以，（常數），
所以數列{b_n}是等比數列；
（2）公差d=1，則，得，
∴

∴數列{}從第二項起隨n增大而減小
∴又，則。最小的實數t等于；
（3）∵ ，∴數列中， 從第一項開始到為止（含項）
共有項，
k=10時
k=11時
∴