Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{

1

bn

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的n∈N^*，有1+

n

2

≤S2n≤

1

2

+n成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：選作題,不等式

分析：（1）由b_n-b_n+1=b_nb_n+1，確定

1

bn+1

-

1

bn

=1，可得數(shù)列{

1

bn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由數(shù)學(xué)歸納法的步驟，我們先判斷n=1時(shí)，不等式成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即1+

k

2

≤S2k≤

1

2

+k，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．

解答： 證明：（1）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，
∵b_n≠0否則a_n=1，與a₁=2矛盾
從而得

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∵b₁=a₁-1=1，
∴數(shù)列{

1

bn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=n，即bn=

1

n

．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)1+

n

2

=1+

1

2

，S2n=1+

1

2

，

1

2

+n=

1

2

+1，不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)，不等式成立，即1+

k

2

≤S2k≤

1

2

+k，那么當(dāng)n=k+1時(shí)S2k+1=1+

1

2

+…+

1

2k

+…+

1

2k+1

≥1+

k

2

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞1+

k

2

+

1 2k+1 +…+ 1 2k+1

2k個(gè)

=1+

k

2

+

1

2

=1+

k+1

2

-S2k+1=1+

1

2

+…+

1

2k

+…+

1

2k+1

≤

1

2

+k+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＜

1

2

+k+

1 2k +…+ 1 2k

2k個(gè)

=

1

2

+(k+1)
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立
由①②知對(duì)任意的n∈N^*，不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法的步驟：①證明n=1時(shí)A式成立②然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，A式成立③證明當(dāng)n=k+1時(shí)，A式也成立④下緒論：A式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立．