Question

10．已知點M（x，5）、N（-2，y），點P（1，1）在直線MN上，且$|{\overrightarrow{MP}}|=2|{\overrightarrow{PN}}|$，求點M，N的坐標．

Answer 1

分析 分類得出由$|\overrightarrow{MP}|=2|\overrightarrow{PN}|可知，\overrightarrow{MP}=±2\overrightarrow{PN}$．
（1）$當(dāng)\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{PN}時，λ=2$，運用坐標相等得出$\frac{x+2×（-2）}{1+2}=1，\frac{5+2y}{1+2}=1$，求解即可
（2）$當(dāng)\overrightarrow{MP}=-2\overrightarrow{PN}時，λ=-2$，運用坐標相等得出$\frac{x+（-2）×（-2）}{1+（-2）}=1，\frac{5+（-2）y}{1+（-2）}=1$，求解即可
分兩類解決．

解答 解：由$|\overrightarrow{MP}|=2|\overrightarrow{PN}|可知，\overrightarrow{MP}=±2\overrightarrow{PN}$．
設(shè)點P分$\overrightarrow{MN}$所成的比為λ．
（1）$當(dāng)\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{PN}時，λ=2$
∴$\frac{x+2×（-2）}{1+2}=1，\frac{5+2y}{1+2}=1$，
解得x=7，y=-1，
故所求點的坐標為M（7，5），N（-2，-1）．
（2）$當(dāng)\overrightarrow{MP}=-2\overrightarrow{PN}時，λ=-2$
∴$\frac{x+（-2）×（-2）}{1+（-2）}=1，\frac{5+（-2）y}{1+（-2）}=1$，
解得x=-5，y=3，
故所求點的坐標為M（-5，5），N（-2，3）．

點評 本題考察了運用向量的坐標問題求解解析幾何中的點的坐標，關(guān)鍵時分類得出共線的向量相等問題．