Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）-cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間以及f（x）在（0，

π

2

）上的值域；
（Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若f（A）=1，a=

7

，b=3，求c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的正弦公式、二倍角的余弦公式進(jìn)行展開(kāi)，合并同類項(xiàng)，再用輔助角公式化簡(jiǎn)，用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，值域．
（Ⅱ）（II）由 f（A）=1 求得sin（2A-

π

6

）=1，根據(jù)-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

求出A，利用余弦定理求出c的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x-

π

3

）-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x
=sin（2x-

π

6

）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z）
當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，2x-

π

6

∈(-

π

6

，

5π

6

)，∴f（x）∈(-

1

2

，1]
（Ⅱ）由（I）可知，f（A）=sin（2A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

∴2A-

π

6

=

π

2

，A=

π

3

∵a²=b²+c²-2bccosA，把a(bǔ)=

7

，b=3代入，得到c²-3c+2=0，解得c=1或c=2．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)公式等知識(shí)，考查計(jì)算能力．