Question

某電視臺有A、B兩種智力闖關游戲，甲、乙、丙、丁四人參加，其中甲乙兩人各自獨立進行游戲A，丙丁兩人各自獨立進行游戲B．已知甲、乙兩人各自闖關成功的概率均為，丙、丁兩人各自闖關成功的概率均為．
（I ）求游戲A被闖關成功的人數(shù)多于游戲B被闖關成功的人數(shù)的概率；
（II） 記游戲A、B被闖關成功的總人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

解：（I）設“i個人游戲A闖關成功”為事件A_i（i=0，1，2），“j個人游戲B闖關成功”為事件B_j（j=0，1，2），
則“游戲A被闖關成功的人數(shù)多于游戲B被闖關的人數(shù)”為A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀．
∴P（A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀）=P（A₁B₀）+P（A₂B₁）+P（A₂B₀）=P（A₁）•P（B₀）+P（A₂）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₀）
=++=．
即游戲A被闖關成功的人數(shù)多于游戲B被闖關的人數(shù)的概率為．…（4分）
（II）由題設可知：ξ=0，1，2，3，4．
P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=
P（ξ=2）=++=
P（ξ=3）=+=
P（ξ=4）=．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P

…（10分）
∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=． …（12分）
分析：（I）設“i個人游戲A闖關成功”為事件A_i（i=0，1，2），“j個人游戲B闖關成功”為事件B_j（j=0，1，2），則“游戲A被闖關成功的人數(shù)多于游戲B被闖關的人數(shù)”為A₁B₀+A₂B₁+A₂B₀，利用互斥事件概率公式，可求得結論；
（II）由題設可知：ξ=0，1，2，3，4，求出相應的概率，即可得到ξ的分布列和期望．
點評：本題考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機變量的分布列與期望，確定變量的取值，求出概率是關鍵．