Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

（m+3）x²+（m+6）x，x∈R．（其中m為常數(shù)）
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)到導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系即可求出．
（2）y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=0在（0，+∞）有兩個(gè)正根，問題得以解決．

解答： 解：函數(shù)的定義域?yàn)镽
（1）當(dāng)m=4時(shí)，f（x）=

1

3

x³-

7

2

x²+10x，
∴f′（x）=x²-7x+10，令f′（x）＞0，解得x＞5或x＜2．令令f′（x）＜0，解得2＜x＜5列表

x	（-∞，2）	2	（2，5）	5	（5，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	26 3	↘	25 6	↗

所以函數(shù)的極大值點(diǎn)是x=2，極大值是

26

3

；函數(shù)的極小值點(diǎn)是x=5，極小值是

25

6

．
（2）f′（x）=x²-（m+3）x+m+6，要使函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則

△=(m+3)2-4(m+6)＞0 m+3＞0 m+6＞0

，
解得m＞3．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，以及函數(shù)的零點(diǎn)和方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．