Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{|x|}$，g（x）=$\frac{x+|x-1|}{2}$，若f（x）＜g（x），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，+∞）
• C． （-2，$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$）
• D． （-∞，-2）∪（1，2）

Answer 1

分析 化簡不等式f（x）＞g（x），得到一個絕對值不等式，對x＞0，和x＜0兩種情況進(jìn)行討論，把求的結(jié)果求并集，就是原不等式的解集．

解答 解：f（x）＜g（x）
∴$\frac{1}{|x|}$＜$\frac{x+|x-1|}{2}$（x≠0），
即$\frac{x+|x-1|}{2}$•|x|＞1，
1°當(dāng)x＞1時，原不等式可化為$\frac{x+x-1}{2}•x＞1$，
即2x²-x-2＞0，解得x＞$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$或x＜$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$（舍）
所以不等式的解集為（$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，+∞）；
2°當(dāng)x＜0時，原不等式可化$\frac{x-（x-1）}{2}•（-x）＞1$，
即$-\frac{1}{2}x＞1$，則x＜-2，
3°若0＜x≤1，則原不等式可化$\frac{x-（x-1）}{2}•x$＞1，
即$\frac{1}{2}x＞1$，解得x＞2，此時不等式不成立，
綜上，不等式的解集為（-∞，-2）∪（$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的求解，根據(jù)絕對值的幾何意義，進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．