Question

已知函數(shù)y=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（

π

3

）；
（2）求函數(shù)的最大值為1時(shí)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，y=sin²x+2cosx-

5

2

．將x=

π

3

代入可得f（

π

3

）；
（2）設(shè)cosx=t，函數(shù)解析式可化為y=-（t-

a

2

）²+

a2

4

-

a

2

-

1

2

，-1≤t≤1．分當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時(shí)，當(dāng)-1≤

a

2

≤1時(shí)，即-2≤a≤2時(shí)，當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，三種情況討論滿足條件的a值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（1）∵當(dāng)a=2時(shí)，y=sin²x+2cosx-

5

2

．
∴f（

π

3

）=(

3

2

)2+2×

1

2

-

5

2

=-

3

4

，
（2）∵y=1-cos²x+acosx-

1

2

a-

3

2

=-cos²x+acosx-

a

2

-

1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

-

a

2

-

1

2

．
設(shè)cosx=t，
∵-1≤cosx≤1，
∴-1≤t≤1．
∴y=-（t-

a

2

）²+

a2

4

-

a

2

-

1

2

，-1≤t≤1．
1）當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時(shí)，
此時(shí)當(dāng)t=-1，y有最大值-

3

2

a-

3

2

．
由已知條件可得-

3

2

a-

3

2

=1，
∴a=-

5

3

＞-2（舍去）．
2）當(dāng)-1≤

a

2

≤1時(shí)，即-2≤a≤2時(shí)，
此時(shí)當(dāng)t=

a

2

，y有最大值

a2

4

-

a

2

-

1

2

．
由已知條件可得

a2

4

-

a

2

-

1

2

=1，
解得a=1-

7

或a=1+

7

（舍去）．
3）當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，
此時(shí)當(dāng)t=1，y有最大值

a

2

-

3

2

．
由已知條件可得

a

2

-

3

2

=1，
∴a=5．
綜上可得a=1-

7

或a=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)求值，二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，是三角函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．