Question

如圖是一個(gè)三角形數(shù)陣（x≠0，-1），從第二行起每個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，第k行的第一個(gè)數(shù)為a_k（1≤k≤n，n≥2，k、n∈N^*）．
（Ⅰ）寫出a_k關(guān)于k的表達(dá)式：a_k=f（k）；
（Ⅱ）求第k行中所有數(shù)的和T_k；
（Ⅲ）當(dāng)x=1時(shí)，求數(shù)陣中所有數(shù)的和S_n=T₁+T₂+…+T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）寫出a_k關(guān)于k的表達(dá)式：a_k=f（k）；通過排布找規(guī)律，歸納得出1，1+x，（1+x）²，再由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得出．
（Ⅱ）求第k行中所有數(shù)的和T_k；通過總結(jié)第一行，第二行，第三行的數(shù)的規(guī)律，總結(jié)歸納出，各行數(shù)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式求得．
（Ⅲ）當(dāng)x=1時(shí)，求數(shù)陣中所有數(shù)的和S_n=T₁+T₂+…+T_n，x=1代入，得到一個(gè)數(shù)列的和，利用分組求和與錯(cuò)位相減法求和可求得．
解答：解：（Ⅰ）由數(shù)陣的排布規(guī)律可知：a₁=1=（1+x），a₂=（1+x）¹，a₃=1+x+x+x²=（1+x）²，
a₄=（1+x）²+x+2x²+x³=（1+x）²+x（1+x）²=（1+x）³，…
猜想：a_k=（1+x）^k-1（1≤k≤n）．                                   （3分）
（Ⅱ）由數(shù)陣的排布規(guī)律可知：
第1行：1，x，x²，…，x^n-1
第2行：1+x，x（1+x），x²（1+x），…
第3行：（1+x）²，x（1+x）²，x²（1+x）²，…
因?yàn)閤≠0，-1；所以數(shù)陣中除第n，n-1行外，其余各行均為等比數(shù)列，
且公比為x，又第k行的首項(xiàng)為a_k，項(xiàng)數(shù)為n-k+1，
∴當(dāng)k≠n，n-1，且x≠1時(shí)①
當(dāng)k≠n，n-1，且x=1時(shí)，第k行為常數(shù)列，2^k-1，2^k-1，…，2^k-1（共有n-k+1行）
∴T_k=（n-k+1）•2^k-1②
又當(dāng)k=n時(shí)，a_k=a_n=（1+x）^n-1
當(dāng)x≠1時(shí)，①式為T_n=（1+x）^n-1=a_n
當(dāng)x=1時(shí)，②式為T_n=2^n-1=a_n
當(dāng)k=n-1時(shí)，由排布規(guī)律可知，第n-1行兩個(gè)數(shù)之和為a_n=（1+x）^n-1
而在①式中，即x≠1時(shí)，
在②式中，即x=1時(shí)T_n-1=2•2^n-2=2^n-1=a_n
即當(dāng)1≤k≤n，n≥2時(shí)，都有（9分）
（Ⅲ）當(dāng)x=1時(shí)，T_k=（n-k+1）•2^k-1=n•2^k-1-（k-1）•2^k-1
∴S_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n=n（1+2+2²+…+2^n-1）-[1•2+2•2²+…+（n-1）2^n-1]，
在上式中，前面一部分直接用等比數(shù)列求和公式求得和為n（2ⁿ-1），
后一部分可用錯(cuò)位相減法求得和為（n-2）•2ⁿ+2；
∴S_n=n（2ⁿ-1）-（n-2）•2ⁿ+2=2ⁿ⁺¹-n-2（n≥2）．             （13分）
點(diǎn)評(píng)：本題屬于數(shù)列綜合應(yīng)用題，考查了歸納推理能力，等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等比數(shù)列求和公式，及數(shù)列求和的其它方法，靈活性強(qiáng)，計(jì)算量大．