Question

【選修4--5；不等式選講】
設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，由a+b+c=1⇒（a+b+c）²=1⇒a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，從而得證；
（Ⅱ）利用基本不等式可證得：+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，三式累加即可證得結(jié)論．
解答：證明：（Ⅰ）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca得：
a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
由題設(shè)得（a+b+c）²=1，即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，
所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤．
（Ⅱ）因為+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，
故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c．
所以++≥1．
點評：本題考查不等式的證明，突出考查基本不等式與綜合法的應(yīng)用，考查推理論證能力，屬于中檔題．