Question

已知函數(shù)f（x）=

sin2x+2sin2x

1+tanx

-2

3

cos2x+

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時，求f（x）的值域；
（3）若f（x）=

2

3

，且x∈[

π

6

，

π

3

]，求cos2x的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦函數(shù)的圖象

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由

1+tanx≠0 x≠kπ+ π 2 (k∈Z)

即可求得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）將已知關(guān)系式中的切化弦，利用降冪公式與輔助角公式可化簡為f（x）=2sin（2x-

π

3

），于是x∈[-

π

6

，

π

3

]時，2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得其值域；
（3）易求sin（2x-

π

3

）=

1

3

，x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x-

π

3

∈[0，

π

3

]，于是可得cos（2x-

π

3

）=

2 2

3

，利用兩角和的余弦即可求cos2x的值．

解答： 解：（1）f（x）=

2sinx(sinx+cosx)

sinx+cosx cosx

-

3

（2cos²x-1）
=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

），
（1）由已知有：

1+tanx≠0 x≠kπ+ π 2 (k∈Z)

⇒

x≠kπ- π 4 x≠kπ+ π 2

k∈Z，
函數(shù)f（x）的定義域為：{x|x≠kπ-

π

4

且x≠kπ+

π

2

，k∈Z}；
（2）x∈[-

π

6

，

π

3

]時，2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，sin（2x-

π

3

）∈[-1，

3

2

]，
∴f（x）的值域為[-2，

3

]．
（3）由f（x）=

2

3

，得sin（2x-

π

3

）=

1

3

，又x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x-

π

3

∈[0，

π

3

]，
∴cos（2x-

π

3

）=

2 2

3

，
∴cos2x=cos[（2x-

π

3

）+

π

3

]=cos（2x-

π

3

）cos

π

3

-sin（2x-

π

3

）sin

π

3

=

2 2 - 3

6

．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查函數(shù)的定義域、正弦函數(shù)的值域，考查兩角和的余弦，突出考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力，屬于難題．