Question

已知：△ABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C．
（1）求角C的大�。�
（2）若a，c，b成等差數(shù)列，且

CA

•

CB

=18，求c邊的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩角和與差公式得到sin2C等于sinC，化簡后即可求出cosC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由a，c，b成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2c=a+b，再根據(jù)

CA

•

CB

=18，，利用平面向量的數(shù)量積的運算法則得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度數(shù)，a+b=2c及ab的值代入即可列出關(guān)于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答：解：（1）∵sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C
∴sin（A+B）=sin2C，
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC
∴sinC=sin2C=2sinCcosC，
∵0＜C＜π∴sinC＞0
∴cosC=

1

2

∴C=

π

3

．
（2）由a，c，b成等差數(shù)列，得2c=a+b．
∵

CA

•

CB

=18，
即abcosC=18，ab=36；
由余弦弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴c²=4c²-3×36，c²=36，∴c=6．

點評：此題考查學(xué)生數(shù)量積的運算法則及等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及余弦定理化簡求值，是一道中檔題．