Question

若函數(shù)f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的圖象與直線y=m（m為實常數(shù)）相切，并且從左到右切點的橫坐標依次成公差為

π

2

的等差數(shù)列，
（Ⅰ）求m和a的值；
（Ⅱ）若點A（x₀，y₀）是y=f（x）圖象的對稱中心，且x0∈[0，

π

2

]，求點A的坐標；
（Ⅲ）寫出函數(shù)y=f（-x）的所有單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)f（x）=sin²ax-sinaxcosax為 y=-

2

2

sin(2ax+

π

4

)+

1

2

，求出它的最值，圖象與直線y=m相切，所以最值就是m的值，利用公差與周期的關系即可求a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=-

2

2

sin(4x+

π

4

)+

1

2

，令sin(4x0+

π

4

)=0，即可求出y=f（x）圖象的對稱中心的坐標；
（III）根據(jù)周期求出a的值后，然后利用三角函數(shù)的圖象與性質結合整體思想再求函數(shù)f（-x）的單調增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1-cos2ax

2

-

1

2

sin2ax=

1

2

-

2

2

sin(2ax+

π

4

)
由于y=m與y=f（x）的圖象相切，則m=

1+ 2

2

或m=

1- 2

2

；
因為切點的橫坐標依次成公差為

π

2

等差數(shù)列，
所以T=

π

2

∴2a=4
故a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=-

2

2

sin(4x+

π

4

)+

1

2

．
令sin(4x0+

π

4

)=0，
故4x0+

π

4

=kπ(k∈Z)
∴x0=

kπ

4

-

π

16

(k∈Z)，由0≤

kπ

4

-

π

16

≤

π

2

(k∈Z)，得k=1或k=2，
∴A(

3π

16

，

1

2

)或(

7

16

π，

1

2

)．；
（Ⅲ）y=f（-x）=

2

2

sin(4x-

π

4

)+

1

2

．
由2kπ-

π

2

≤4x-

π

4

≤2kπ+

π

2

得

kπ

2

-

π

16

≤x≤

kπ

2

+

3π

16

(k∈Z)
所以函數(shù)y=f（-x）的單調遞增區(qū)間為[

kπ

2

-

π

16

，

kπ

2

+

3π

16

](k∈Z)．

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調性，等差數(shù)列的性質，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的最值，是中檔題．