定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2的奇函數(shù), 且當(dāng)x∈(0, 1)時(shí),

f(x)= .

(Ⅰ)求f(x)在[-1, 1]上的解析式;    (Ⅱ)證明f(x)在(0, 1)上時(shí)減函數(shù); 

(Ⅲ)當(dāng)λ取何值時(shí), 方程f(x)=λ在[-1, 1]上有解?

 

【答案】

(1)f(x)=.;(2)見(jiàn)解析;

(3)λ∈(-, -)∪{0}∪(, )時(shí)方程f(x)=λ在[-1, 1]上有解.

 

【解析】主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性、指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

解:(Ⅰ)解:當(dāng)x∈(-1, 0)時(shí), - x∈(0, 1). ∵當(dāng)x∈(0, 1)時(shí), f(x)= .

∴f(-x)=. 又f(x)是奇函數(shù), ∴f (-x)= - f (x)= .∴f(x)= -.

 ∵f(-0)= -f(0),  ∴f(0)= 0. 又f(x)是最小正周期為2的函數(shù), ∴對(duì)任意的x有f(x+2)= f(x).

∴f(-1)= f(-1+2)= f(1). 另一面f(-1)=- f(1), ∴- f(1)= f(1) . ∴f(1) = f(-1)=0.  ∴f(x)在[-1, 1]上的解析式為

 f(x)=.   

(Ⅱ) 對(duì)任意的0<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)=-=== >0,因此f(x)在(0, 1)上時(shí)減函數(shù); 

 (Ⅲ)在[-1, 1]上使方程f(x)=λ有解的λ的取值范圍就是函數(shù)f(x)在[-1, 1]上的值域. 當(dāng)x∈(-1, 0)時(shí), 2<2x+<, 即2<<. ∴< f(x)= <. 又f(x)是奇函數(shù), ∴f(x)在(-1, 0)上也是減函數(shù), ∴當(dāng)x∈(-1, 0)時(shí)有-< f(x)= -< -. ∴f(x)在[-1, 1]上的值域是(-, -)∪{0}∪(, ). 故當(dāng)

λ∈(-, -)∪{0}∪(, )時(shí)方程f(x)=λ在[-1, 1]上有解.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當(dāng)x∈[0,
π
2
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3
)的值為
 

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20、已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.
(1)求f(x)的解析式;
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π
2
),最大值與最小值的差為4,相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)之間距離為π,函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)圖象所有對(duì)稱中心都在f(x)圖象的對(duì)稱軸上.
(1)求f(x)的表達(dá)式;    
(2)若f(
x0
2
)=
3
2
(x0∈[-
π
2
,
π
2
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π
3
)的值.

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已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對(duì)應(yīng)值表:
x 0 1 2 3
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