Question

從雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)P引實(shí)軸平行線交兩漸近線于Q，R兩點(diǎn)，則|PQ|•|PR|之值為

a²

．

Answer 1

分析：設(shè)P（x₀，y₀），可得Q（x₁，y₀），R（x₂，y₀），分別聯(lián)立方程可得x₁=

a

b

y0，x₂=-

a

b

y0，代入可得|PQ|•|PR|=|x₁-x₀|•|x₂-x₀|，結(jié)合P（x₀，y₀）在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，代入消元可得．

解答：解：設(shè)P（x₀，y₀），可得Q（x₁，y₀），R（x₂，y₀）．
又可得漸近線方程為y=±

b

a

x，
聯(lián)立

y= b a x y=y0

，解之可得x₁=

a

b

y0
同理可得x₂=-

a

b

y0，
故|PQ|•|PR|=|x₁-x₀|•|x₂-x₀|
=|（

a

b

y0-x0）（-

a

b

y0-x0）|=|x02-

a2

b2

y02|，
又P（x₀，y₀）在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，故

x02

a2

-

y02

b2

=1，
變形可得x02=(1+

y02

b2

)a2，代入上式可得
|PQ|•|PR|=|x02-

a2

b2

y02|=a²
故答案為：a²

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及設(shè)而不求的思想，屬中檔題．