Question

如圖，四棱錐中，底面為直角梯形,∥, ，平面,且，為的中點

（1） 證明：面面

（2） 求面與面夾角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1） 詳見解析；（2） 面與面夾角的余弦值．

【解析】

試題分析：（1） 證明：面面，在立體幾何中，證明面面垂直，往往轉化為證明線面垂直，即證一個平面過另一個平面的垂線，由已知，即,又因為∥,則,只需在平面內再找一條垂線即可，由已知平面,從而得,這樣平面,即得面面;也可利用向量法, 以為坐標原點長為單位長度，分別以為軸建立空間直角坐標系，利用向量來證,即得,其它同上；

（2） 求面與面夾角的余弦值，可建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的大小，由（1） 建立的間直角坐標系，設出兩個半平面的法向量，利用法向量的性質，求出兩個半平面的法向量，利用法向量來求平面與平面的夾角的余弦值．

試題解析：（1） 以為坐標原點長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為.

（1） 證明：因

由題設知，且與是平面內的兩條相交直線，由此得面.

又在面上，故面⊥面. 5分

（2） 解：在上取一點，則存在使

要使，只需，即，解得，可知當時，點的坐標為，能使，此時，，有，由得，所以為所求二面角的平面角.因為，，，故．

面與面夾角的余弦值. 12分

考點：用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．