Question

函數(shù)f（x）=

2-x x-1

的定義域為集合A，關(guān)于x的不等式3^2ax＜3^a+x（a∈R）的解集為B，求使A∩B=A的實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,指、對數(shù)不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用,集合

分析：首先根據(jù)被開方式非負，求出集合A；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出集合B，并就a討論，化簡B，根據(jù)A∩B=A?A⊆B，分別求出a的取值范圍，最后求并集．

解答： 解：由

2-x

x-1

≥0，得1＜x≤2，
即A={x|1＜x≤2}．
∵y=3^x是R上的增函數(shù)，
∴由3^2ax＜3^a+x，得2ax＜a+x，
∴B={x|（2a-1）x＜a}，
（1）當(dāng)2a-1＞0，即a＞

1

2

時，B={x|x＜

a

2a-1

}，
又∵A∩B=A，∴A⊆B，
∴

a

2a-1

＞2，解得

1

2

＜a＜

2

3

；
（2）當(dāng)2a-1=0，即a=

1

2

時，B=R，滿足A∩B=A；
（3）當(dāng)2a-1＜0，即a＜

1

2

時，B={x|x＞

a

2a-1

}；
∵A⊆B，∴

a

2a-1

≤1，解得a＜

1

2

或a≥1，
∴a＜

1

2

，
綜上，a的取值范圍是（-∞，

2

3

）．

點評：本題主要考查集合的包含關(guān)系及判斷，考查分式不等式和指數(shù)不等式的解法，考查基本的運算能力和分類討論的思想方法，是一道中檔題．