Question

方程

x4

4

-

x3

3

+

x2

2

-x=0的實(shí)數(shù)解有

2

 個(gè)．

Answer 1

分析：易知x=0是此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根．當(dāng)x≠0時(shí)，方程化為

x3

4

-

x2

3

+

x

2

-1=0．令f（x）=

x3

4

-

x2

3

+

x

2

-1，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再利用函數(shù)零點(diǎn)判定定理判定其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答：解：x=0是此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根．
當(dāng)x≠0時(shí)，方程化為

x3

4

-

x2

3

+

x

2

-1=0．
令f（x）=

x3

4

-

x2

3

+

x

2

-1，則f′(x)=

3

4

x2-

2

3

x+

1

2

=

3

4

(x-

4

9

)2+

19

54

＞0，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
而f（1）=

1

4

-

1

3

+

1

2

-1＜0，f（2）=2-

4

3

+1-1＞0，
∴f（1）f（2）＜0，∴函數(shù)f（x）在（1，2）上存在零點(diǎn)，也即在R上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)．
綜上可知：方程

x4

4

-

x3

3

+

x2

2

-x=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)的判定定理等是解題的關(guān)鍵．