Question

20．已知函數(shù)f（x-1）=x²+（2a-2）x+3-2a．
（1）若函數(shù)f（x）在[-5，5]上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）求a的值，使f（x）在區(qū)間[-5，5]上的最小值為-1．

Answer 1

分析 利用換元法令x-1=t，則x=1+t；從而可得f（x）=x²+2ax+2，
（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得-a≤-5或-a≥5，從而解得；
（2）分類討論，從而求函數(shù)的最小值，從而解得．

解答 解：令x-1=t，則x=1+t；
∵f（x-1）=x²+（2a-2）x+3-2a，
∴f（t）=（t+1）²+（2a-2）（t+1）+3-2a，
∴f（t）=t²+2at+2，
∴f（x）=x²+2ax+2，
（1）∵函數(shù)f（x）在[-5，5]上為單調(diào)函數(shù)，
且f（x）的圖象的對稱軸為x=-a；
∴-a≤-5或-a≥5，
即a≤-5或a≥5．
（2）當a＞5時，f_min（x）=f（-5）=27-10a=-1，故a=$\frac{14}{5}$（舍去）；
當-5≤a≤5時，f_min（x）=f（-a）=-a²+2=-1，故a=$±\sqrt{3}$；
當a＜-5時，f_min（x）=f（5）=27+10a=-1，故a=-$\frac{14}{5}$（舍去）；
綜上所述，a=$±\sqrt{3}$．

點評 本題考查了換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，同時考查了分類討論的思想應用．