Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F₂作傾斜角為

π

3

的直線交橢圓D于A，B兩點，F(xiàn)₁到直線AB的距離為3，連接橢圓D的四個頂點得到的菱形面積為4．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）已知點M（-1，0），設(shè)E是橢圓D上的一點，過E、M兩點的直線l交y軸于點C，若

CE

=λ

EM

，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）作直線l₁與橢圓D交于不同的兩點P，Q，其中P點的坐標為（-2，0），若點N（0，t）是線段PQ垂直平分線上一點，且滿足

NP

•

NQ

=4，求實數(shù)t的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）AB的方程為：y=

3

(x-c)，由F₁到直線AB的距離為3，可求c，結(jié)合連接橢圓D的四個頂點得到的菱形面積為4，即可求出求橢圓D的方程；
（Ⅱ）由

CE

=λ

EM

，可得e的坐標，代入橢圓方程，即可求λ的取值范圍；
（Ⅲ）分類討論，寫出線段PQ垂直平分線方程，利用

NP

•

NQ

=4，結(jié)合韋達定理，即可求實數(shù)t的值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)F₁，F(xiàn)₂的坐標分別為（-c，0），（c，0），其中c＞0
由題意得AB的方程為：y=

3

(x-c)
∵F₁到直線AB的距離為3，
∴有

|- 3 c- 3 c|

3+1

=3，解得c=

3

…（2分）
∴a²-b²=c²=3…①
由題意知：

1

2

×2a×2b=4，即ab=2…②
聯(lián)立①②解得：a=2，b=1，
∴所求橢圓D的方程為

x2

4

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓D的方程為

x2

4

+y2=1
設(shè)E（x₁，y₁），C（0，m），
∵

CE

=λ

EM

，∴（x₁，y₁-m）=λ（-1-x₁，-y₁），
∴x1=-

λ

1+λ

，y1=

m

1+λ

…（7分）
又E是橢圓D上的一點，則

(- λ 1+λ )2

4

+(

m

1+λ

)2=1
∴m2=

(3λ+2)(λ+2)

4

≥0
解得：λ≥-

2

3

或λ≤-2…（9分）
（Ⅲ）由P（-2，0），設(shè)Q（x₁，y₁）
根據(jù)題意可知直線l₁的斜率存在，可設(shè)直線斜率為k，則直線l₁的方程為y=k（x+2）
把它代入橢圓D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
由韋達定理得-2+x1=-

16k2

1+4k2

，則x1=

2-8k2

1+4k2

，y₁=k（x₁+2）=

4k

1+4k2

∴線段PQ的中點坐標為(-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)
（1）當(dāng)k=0時，則有Q（2，0），線段PQ垂直平分線為y軸
于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(2，-t)
由

NP

•

NQ

=-4+t2=4，解得：t=±2

2

…（11分）
（2）當(dāng)k≠0時，則線段PQ垂直平分線的方程為y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)
由點N（0，t）是線段PQ垂直平分線的一點，令x=0，得：t=-

6k

1+4k2

于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(x1，y1-t)
由

NP

•

NQ

=-2x1-t(y1-t)=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，解得：k=±

14

7

代入t=-

6k

1+4k2

，解得：t=±

2 14

5

綜上，滿足條件的實數(shù)t的值為t=±2

2

或t=±

2 14

5

．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．