Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（-∞，0）上有2xf′（2x）+f（2x）＜0且f（-2）=0，則不等式xf（2x）＜0的解集為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf （2x），再由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由函數(shù)f（x）的奇偶性得到函數(shù)g（x）的奇偶性，由f（-2）=0得g（1）=0、還有g(shù)（0）=0，再通過奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性求出不等式的解集．
解答：解：設(shè)g（x）=xf（2x），則g'（x）=[xf（2x）]'=x'f（2x）+2xf'（2x）=2xf′（2x）+f（2x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴g（x）=xf（2x）是R上的偶函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（-2）=0，
∴f（2）=0；
即g（1）=0且g（0）=0f（0）=0，
∴xf（2x）＜0化為g（x）＜0，
∵對(duì)于偶函數(shù)g（x），有g(shù)（-x）=g（x）=g（|x|），
故不等式為g（|x|）＜g（1），
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴|x|＜1且x≠0，解得-1＜x＜1且x≠0，
故所求的解集為{x|-1＜x＜1且x≠0}．
故答案為：{x|-1＜x＜1且x≠0}．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)值為零的自變量的取值．